Osatuletis ja del operaator

Tuletamine (tuletamise juhised) leiab lihtsustatult kui kiiresti muutub mingi suurus kui teine seda mõjutav suurus muutub. Näiteks kui ülemine must graafik kirjeldab objekti kiirust läbi aja, siis tuletis mingis ajamomendis leiab kui kiire see oli sellel ajamomendil. Kui tulemust uuesti tuletada, siis kirjeldab vastus kui suur oli kiirendus sellel momendil. Edasisel tuletamisel leiab kui ruttu muutub kiirendus ja nii võib jätkata seni kui tulemus pole nulli jõudnud. Kui graafik kirjeldas kiiruse asemel rõhku või temperatuuri, siis saab tuletamisega leida nende suurust mingil ajahetkel ning edasisel tuletamisel leiaks kui kiiresti need muutuvad.

Osatuletise sümbol on ∂ ja täistuletise leidmisel on sümboliks d. Praktilise otstarbena kirjeldatakse osatuletistega soojuse, rõhu ning lainete levikut ajas ja ruumis.

 Esimese osatuletise tähistamine.

Tähistus kui tahetakse 2 korda järjest tuletada.

 

Osatuletistega võib leida tõusu või suuruse muutumise paljude muutujatega funktsioonides nagu näiteks ülemises kõveras pinnas. Kui otsida z tõusu x väärtuse muutmisel, siis tähistatakse osatuletis all illustreeritud viisil.

Kuna tuletist otsiti ainult x suhtes, siis tehti tuletamist algvalemis oleva x² + xy osaga jättes kõrvale x mittesisaldava osa. Tuletamisel saab nendest 2x+y.

 Kuna tõusu otsiti punktis x=1,y=1 ja z=3, siis leiti nende väärtuste järgi 2x1+1=3.

Ristlõige samast kõverpinnast koos tõususirgega selles punktis. Z tõus 3 x telje suhtes tähendab, et kui x suureneb 1 võrra, siis kasvab z väärtus 3 võrra, mida paistab tõususirges.

Koonuse ruumala V valem. Raadius on r ja koonuse kõrgus on h. Osatuletise leidmisega saab leida kui palju muutub üks mitmest suurusest ning kui ühte teist suurust ei muudeta.

 V osatuletis raadiuse suhtes leiab kui kiiresti muutub ruumala kui raadiust muuta.

Osatuletis kõrguse suhtes leiab kui kiiresti muutub ruumala kui muuta kõrgust ja säilitatakse raadius.

Osatuletisi kasutavates füüsikavalemites leidub tihti kolmnurkseid nabla operaatoreid, mida kasutatakse rohkem valemi lühendamiseks. Pikendatult tähistab see, et järjest leitakse iga dimensiooni kirjeldava telje osatuletis ja tulemused liidetakse kokku. Ülakatusega tähed on alati suurusega 1.

Teistpidi kolmnurgaga tähistatakse Laplace'i operaatorit, mis on füüsikas samuti väga tihti ette tulev sümbol.
Nabla operaatoriga saab lühemalt tähistada gradienti, divergentsi ja rootorit.
Gradient kirjeldab suuruse muutumise kiirust pikkusühiku kohta.
Divergents kirjeldab tihedust mingis punktis ning selle abil saab kirjeldada sisse- ja väljavoolu kohti. Positiivne väärtus tähendab väljavoolu allikat ja negatiivne väärtus seda, et ümbrusest toimub vool sellesse punkti.
Rootor kirjeldab pöörlemist mingis punktis.

Gradiendi leidmise valem skalaarväljas f (igale f ruumipunktile on antud arvuline väärtus). Saadud vektorid on alati suurima f kasvu suunas ja selle pikkus/magnituud näitab kui palju see kasvab sarnaselt tavalise tuletisega. Kui valem piirduks seosega y=2x, siis annab osatuletis x suhtes y tõusuks 2. Vektor näitaks tõusu suunas ja mida suurem on selle arvuline väärtus seda järsem on tõus.

Divergentsi väärtus näitab kui suur on kasv vektori poolt näidatud suunas. Kui oleks endiselt valem y=2x, siis saaks osatuletisega väärtuse 2 ning positiivse väärtuse järgi võib oletada, et sellest 2 võrra tihedamas kohast toimub väljavool mujale.

Rootori valemit on keerulisem meelde jätta kuigi veidi aitab see, et sulgudes on diagonaalis sama suunda tähistavad väärtused. Saadud vastus näitab kui suur jõud võib mõjuda pisikesele selles punktis asuvale pöörlemisteljele.
Rootori arvutamisel saadakse selle punkti vektor, mille suund on pöörlemisteljeks mille ümber käib pöörlemine parema käe reegli järgi ehk kui parema käe pöial on vektoriga samasuunaline, siis toimub pöörlemine parema käe kõverdunud sõrmede poolt näidatud suunas. Vektori pikkus näitab pöörlemise magnituudi. 0 tähendab pöörlemise puudumist.