Wednesday, March 14, 2012

Mitme muutujaga integraalid

Mitme muutujaga integraalides on üle 1 muutuja nagu näiteks f(x,y) või f(x,y,z) ning sellisel juhul on tavaliselt mitu integraalisümbolit tehte alguses reas ning füüsikavalemites võib tihti mitut integraalisümbolit reas näha. Kahe muutujaga funktsioonid nagu näiteks z=f(x,y) võivad kirjeldada ruumala kuigi ruumala saab ka kolme muutujaga kirjeldada. 

Kui ühe muutujaga integraal kirjeldas mingi piirkonna pindala, siis alates kahe muutujaga funktsioonist kirjeldaks see ruumala. Sama ruumala saas kirjeldada kolme muutujaga funktsioonis f(x, y, z)=1.
Kui on risttahukas küljepikkustega 4x5x6 ja funktsiooniga f(x, y)=5 siis saab seda tähistada stiilis:

 D on selle kujundi aluseks tasapinnal xy.
Kui selle kujundi alus on mõõtudega 3 ≤ x ≤ 7, 4 ≤ y ≤ 10, siis kehtib ülemine valem. Korraga integreeritakse x või y suhtes leides mõlemaga F(b)-F(a) väärtuse. Lahendamine käib tavaliselt parempoolsest integraalimärgist vasakpoole integraalimärgi suunas.
Kui leida integraal x jaoks, siis oleks saaks 5 dx asemel 5x+C ja F(b)-F(a) tähendaks (5x7+C)-(5x3+C). Mitme integraalimärgi korral lahendatakse neid tavaliselt paremalt vasakule võttes vastava integraalimärgi küljest algus- ja lõppkoordinaadi.

Ala D ruumala üks võimalik esitusviis.


Kuubi ruumala valem kui kogu kujund on valemiga f(x,y,z)=1. Järjest leitakse väärtused x, y ja z jaoks F(b)-F(a) tehetega kuni saadakse ruumala 1. Näiteks F(1)-F(0) on siinkohas väärtusega 1-0.

Kui funktsioon f kirjeldab tihedust punktis (x, y, z) seosega f=x+y+z, siis saab ruumala integreerimisega leida kujundi massi.
Korraga leitakse x või y või z väärtus ja saadud arvulised väärtused liidetakse omavahel. Ülemise integreerimisseosega kasvab integreerimisel muutuja aste ühe võrra ning arv jagatakse läbi astmega, mis annaks x asemel x ruudus jagatud 2 kuid kui x väärtus on 1, siis on selle koguväärtus 1/2, mis jäi pärast x integreerimist sulgudesse x asemel. Seejärel korrati seda y ning saadi samuti 1/2, mis andis eelneva vastusega kokku 1. Pärast z leidmist lisati veel üks 1/2 juurde saades koguvastuseks 3/2.

Pinnaintegraalid on topeltintegraalid mingist piiratud pinnast. Kui pind on skalaarväli ehk igas selles punktis on arvuline väärtus, siis leiab integraaliga mingi arvulise väärtuse kuid kui pind on vektorväli, kus igas punktis on eraldi vektor, siis tuleb vastuseks samuti vektor.
Ülemine valem tähistab pinda S, kus iga punkt omab arvulist väärtust. Iga x väärtus kohas f(x) võib kirjeldada tihedust selles punktis ning integraal kogu pinnast võib anda selle kogumassi iga S paksuse kihi kohta. Väärtused s ja t võivad muutuda erinevates S osades. Vertikaalsulgudes leitakse vektori pikkus ja siin leiti x osatuletis s ja t suhtes ning leiti nende ristkorrutis. Ristkorrutises korrutatakse 2 vektori pikkused ja tulemus korrutatakse nendevahelise nurga siinusega.  

Üldine pindala valemi näide kuidas võib edasine arvutuskäik välja paista. Ristkorrutise leidmisel kehtib valem kui pind asub 3D ruumis. Kui valem oli näiteks r=(x,y), siis tuletamisel x suhtes saab x üheks ning y asemel tekib 0. Y suhtes tuletamisel saab x'st 0 ja y'st 1.
Kui on vektorväli v pinnas S, kus igas punktis x asub vektor v(x), siis on valem ise enamjaolt sarnane kuigi see ei leia pindala vaid pigem läbivoolu.


Vektor võib tähistada pinnapunkti elektrivälja, gravitatsiooni või läbivoolu punktis x. Integraaliga võib leida voolu läbi pinna S ajaühiku kohta. Kui vektorid on pinnaga paralleelselt, siis puuduks läbivool, sest vool toimuks pinnaga paralleelselt.

Vektorväljas on vaja leida skalaarkorrutis ja vektorkorrutis. Skalaarkorrutis leitakse igas pinna punktis pinnaga ristuva vektori suhtes. Ristkorrutisega leiab selle pinnaga ristuva vektori.

No comments:

Post a Comment