Manifoldidest

Manifoldi (saksa keeles "varieeruvus") tegemine objektist on nagu 2D kaardi tegemine 3D planeedist. Paljude 2D kaartidega saab planeeti kirjeldada kui kaartid on piisavalt väikesest piirkonnast ja kui on teada mis loogikaga kaardi äärealasid muuta, et kaotada tasapinnalise kaardi tegemisel planeedi kumerus.     
Ühedimensiooniliseks manifoldiks on näiteks sirgjoon ja ring. Kahedimensioonilised manifoldid on näiteks tasapind ja kera pind. Kuigi ring ei ole ühedimensiooniline ja kera kahedimensiooniline, saab samas manifoldi tegemisel venitada ja moonutada kuju mingites piirides ning selle venituse alla jääb muuhulgas ringist sirge tegemine. 
Manifoldid võivad hästi kirjeldada pisikest ala näiteks keral kuid mitte korraga tervet kera. Ühe lahendusena kogutakse palju väikeseid kohti kirjeldavad manifoldid kokku atlasesse sarnaselt pisikeste kaartidega planeeti kirjeldava geograafilise atlasega.  
Manifolde kasutatakse tavaliselt füüsikas suuremate keerulisemate struktuuride lihtsustamiseks.

Ring on üks lihtsamaid topoloogilisi manifolde. Topoloogilised manifoldid jätavad suurema manifoldi kirjeldamisel välja mingi osa kujust nagu näiteks ringi lihtsustamisel. Ülemisel illustratsioonil on 4 eri värviga tähistatud 4 erinevat ringi "kaarti". Paindumisega ei arvestata ja kaardistatakse lihtsalt väärtused korraga y või x telje jaoks.

Näiteks ülemist kollast kaarti, mis kaardistas positiivse y väärtusega ringi poolt saab tähistada Xtop'ga. Teiste suundade puhul sobib Xright, Xleft jne. Need 4 kaarti moodustavad ringi atlase. Kõik kaardid võivad olla ülekattuvate piiridega ja nende lihtsustamisel kasutatud loogikat peaks saama tagasi muuta. Näiteks pärast ringi sirgetele manifoldidele lihtsustamist saaks need tagasi kaareks muuta arvestades, et ringi piir on sirgele kaardile kõige lähedamal selle keskpunktis ja kaugeneb eksponentsiaalselt kaarti otste juures.
Manifoldid ei pea olema üksteisega ühenduses ning need ei pea sisaldama algust ega lõppu nagu näiteks lõputu parabooli või hüperbooli kirjeldamisel.
Manifoldi tüüpe on palju ning need võivad sisaldada palju erinevat infot kuid kõik need on topoloogilised manifoldid, mis kirjeldavad muuhulgas objekti asukohta mingist alguspunktist lõppunktini.

Kera kaardistamisel mahutab üks kaart poole infost.

Kui selle käigus jäetakse välja z telg, siis sisaldab kaart kera x ja y väärtuseid.

Manifoldi atlases tähistatakse kaarti ülaloleva sümboliga ning võimalik kaardistatav ala on tähistatud tähega U.

Riemann'i manifoldid on vajalikud pikkuste, kaarte nurkade, pindala ja ruumala leidmiseks.

Nendes manifoldides on üheks oluliseks osas tangentsruumid (tangent space), mille saab kui ühele punktile objekti pinnal lisatakse tasapind, mis ainult ühte punkti puudutab. Igal pinna punktil võib olla erinev tangentsruum, mis oleks kera pinnal alati raadiusega ristuv. Selliseid tasapindasid saab omavahel kokku kombineerida moodustades sellega uue manifoldi, mis võib olla rohkemaid mõõtmeid sisaldav kui algne kuju (näiteks ringi ümber moodustavad sellised ruumid kokku silindri). 

Teise olulise osana sisaldab Riemann'i manifold palju väärtuseid, mis saadakse skalaarkorrutisena nagu eelmises kolmes valeminäites. Skalaarkorrutamisega saab numbrilise vastuse ja Riemann'i manifoldis on igas tangentsruumis üks selline väärtus, mis muutub sujuvalt naaberalade vahel.
Skalaarkorrutised aitavad eristada distantse ja nurkasid (täisnurksete cos90 vektorite korrutamisel on skalaarkorrutise väärtus 0).
Vektori skalaarkorrutis iseendaga annab selle pikkuse ruudu.