Imaginaararv ja kompleksarvud

Imaginaararv on defineeritud väärtusena, mille ruut on -1. Matemaatikas on selle sümboliks tavaliselt i kuid füüsikas tähistatakse seda tähega j, sest i tähistab füüsikas elektri voolu.
Füüsikavalemisse lisatakse see tihti kui tundmatu väärtus ning kui valemis peaks tekkima olukord, kus see imaginaararv ruutu pandakse, siis asendatakse see -1'ga. Ruutjuur -1'st on korraga i ja -i ning i korda -i on 1 kuigi i ruudus ja -i ruudus on mõlemad -1. Kui i on astmes 0 või 4 (või täisarv korda 4), siis on selle väärtus 1.

Kompleksarvud (sümboliga z) sisaldavad korraga reaalarve ja imaginaararvu (näiteks z=2+i) ning selliseid segatüüpi arve leiab väga paljudes elektromagnetismi kirjeldavates valemites. Ülakriipsuga z tähistab z peegeldust. Kompleksarvus tähistatakse reaalarvu osa x või a teljega ja imaginaararvu y või b teljega. Kui z väärtus jääks x teljele, siis oleks see reaalarv. Kui x ja y väärtused on mõlemad nullist erinevad, siis on see kompleksarv ja kui x=0 kuid y ei ole 0, siis on tegemist ainult imaginaararvuga. Sellisel x, y teljel nullist mingi punktini jõudvat joont saab vaadata kui kohavektorit ning kui seda korrutada i väärtusega, siis saab seda võrrelda kohavektori pöördumisega 90 kraadi vastupäeva. 

 

Vahel lisatakse valemi ette Re või Im, et täpsustada kui suur on vastavalt reaalarv ja imaginaararv.

 

Näiteks vahelduvvoolu pinge kirjeldamisel on imaginaararv valemis sees kuid mõõdetava osa leidmiseks läheb vaja valemi Re osa, mis ei sisalda imaginaararvu.

Euleri valemiga (ülal) ülal saab imaginaararvuga seostada e astmed trigonomeetria siinuse ja koosinusega. Enamasti tähistab x reaalarvu radiaanides kuid vahel kasutatakse selle asemel kompleksarvu.
See valem kirjeldab liikumist ringi pinnal mille raadius on 1 ning see spiraalne tiirlemine on z telje suunas. X telg kirjeldab mitme radiaani (1 radiaan=~57 kraadi) jagu vastupäeva pööramist on toimunud.

Euleri valem kirjeldab hästi elektromagnetkiirgust kus toimub elektri ja magnetvälja suundade vaheldumine. Saadud spiraal valemiga e astmes jz on omane ringjalt polariseeritud elektromagnetkiirgusele. Elektroonikas kasutatakse seda valemit lihtsuse mõttes kui on vaja kirjeldada laineliselt muutuvat signaali. Eelnev vahelduvvoolu pinge valem on Euleri valemiga sarnane. Euleri valem ise loodi umbes 1740ndatel aastatel.

Manifoldidest

Manifoldi (saksa keeles "varieeruvus") tegemine objektist on nagu 2D kaardi tegemine 3D planeedist. Paljude 2D kaartidega saab planeeti kirjeldada kui kaartid on piisavalt väikesest piirkonnast ja kui on teada mis loogikaga kaardi äärealasid muuta, et kaotada tasapinnalise kaardi tegemisel planeedi kumerus.     
Ühedimensiooniliseks manifoldiks on näiteks sirgjoon ja ring. Kahedimensioonilised manifoldid on näiteks tasapind ja kera pind. Kuigi ring ei ole ühedimensiooniline ja kera kahedimensiooniline, saab samas manifoldi tegemisel venitada ja moonutada kuju mingites piirides ning selle venituse alla jääb muuhulgas ringist sirge tegemine. 
Manifoldid võivad hästi kirjeldada pisikest ala näiteks keral kuid mitte korraga tervet kera. Ühe lahendusena kogutakse palju väikeseid kohti kirjeldavad manifoldid kokku atlasesse sarnaselt pisikeste kaartidega planeeti kirjeldava geograafilise atlasega.  
Manifolde kasutatakse tavaliselt füüsikas suuremate keerulisemate struktuuride lihtsustamiseks.

Ring on üks lihtsamaid topoloogilisi manifolde. Topoloogilised manifoldid jätavad suurema manifoldi kirjeldamisel välja mingi osa kujust nagu näiteks ringi lihtsustamisel. Ülemisel illustratsioonil on 4 eri värviga tähistatud 4 erinevat ringi "kaarti". Paindumisega ei arvestata ja kaardistatakse lihtsalt väärtused korraga y või x telje jaoks.

Näiteks ülemist kollast kaarti, mis kaardistas positiivse y väärtusega ringi poolt saab tähistada Xtop'ga. Teiste suundade puhul sobib Xright, Xleft jne. Need 4 kaarti moodustavad ringi atlase. Kõik kaardid võivad olla ülekattuvate piiridega ja nende lihtsustamisel kasutatud loogikat peaks saama tagasi muuta. Näiteks pärast ringi sirgetele manifoldidele lihtsustamist saaks need tagasi kaareks muuta arvestades, et ringi piir on sirgele kaardile kõige lähedamal selle keskpunktis ja kaugeneb eksponentsiaalselt kaarti otste juures.
Manifoldid ei pea olema üksteisega ühenduses ning need ei pea sisaldama algust ega lõppu nagu näiteks lõputu parabooli või hüperbooli kirjeldamisel.
Manifoldi tüüpe on palju ning need võivad sisaldada palju erinevat infot kuid kõik need on topoloogilised manifoldid, mis kirjeldavad muuhulgas objekti asukohta mingist alguspunktist lõppunktini.

Kera kaardistamisel mahutab üks kaart poole infost.

Kui selle käigus jäetakse välja z telg, siis sisaldab kaart kera x ja y väärtuseid.

Manifoldi atlases tähistatakse kaarti ülaloleva sümboliga ning võimalik kaardistatav ala on tähistatud tähega U.

Riemann'i manifoldid on vajalikud pikkuste, kaarte nurkade, pindala ja ruumala leidmiseks.

Nendes manifoldides on üheks oluliseks osas tangentsruumid (tangent space), mille saab kui ühele punktile objekti pinnal lisatakse tasapind, mis ainult ühte punkti puudutab. Igal pinna punktil võib olla erinev tangentsruum, mis oleks kera pinnal alati raadiusega ristuv. Selliseid tasapindasid saab omavahel kokku kombineerida moodustades sellega uue manifoldi, mis võib olla rohkemaid mõõtmeid sisaldav kui algne kuju (näiteks ringi ümber moodustavad sellised ruumid kokku silindri). 

Teise olulise osana sisaldab Riemann'i manifold palju väärtuseid, mis saadakse skalaarkorrutisena nagu eelmises kolmes valeminäites. Skalaarkorrutamisega saab numbrilise vastuse ja Riemann'i manifoldis on igas tangentsruumis üks selline väärtus, mis muutub sujuvalt naaberalade vahel.
Skalaarkorrutised aitavad eristada distantse ja nurkasid (täisnurksete cos90 vektorite korrutamisel on skalaarkorrutise väärtus 0).
Vektori skalaarkorrutis iseendaga annab selle pikkuse ruudu.

Torujad kujud

Toroidis kirjeldab r toru sisest raadiust ja R raadiust rõnga keskpunktist toru keskepunktini.

 

 

toroidis olevate punktide leidmise valemid. Väärtused u ja v on suurusega 0 kuni 2π (0-360 kraadi). Kõrgus z sõltub põhiliselt r väärtusest ja siinuse väärtus (-1 kuni 1) määrab rohkem selle suuna nullkõrguse suhtes. Koosinusega saab sulgudes leida x teljel asuva väärtuse ja y leidmisel piisab kui on teada mis oli x väärtus ja mitu kraadi on sellest eemale pööratud.

 

Toroidi pindala A ja ruumala V valemid.

Katenoid on pind mille saaks kui kumeralt rippuv nöör tiirleks ümber seda nööri enda poole tõmbava keskpunkti.

 

z=v
Väärtus c on püsiv nullist erinev arv aga v ja u väärtused jäävad 0-360 kraadi vahemikku.

cosh (hüperboolne koosinus) tähendus on teistsugune kui lihtsalt koosinusel. Lihtsustatult on cosh väärtus seda suurem mida rohkem erines selle sisendväärtus (näiteks x) nullist ning sellepärast saab sellega kirjeldada katenoidis keskel asuvat kitsamat kohta. Pärast cosh leidmist saab tulemuse cos või sin väärtusega läbi korrutada, et leida x ja y väärtused.

Ühe ja kahe pinnaga hüperboloidid.

Esimene valem kehtib ühe pinnaga hüperboloidi puhul ja teine kahe eraldi pinnaga hüperboloidide korral. Kui esimeses valemis asendada 1 nulliga, siis oleks tegu koonuse valemiga. X, y ja z all olevad arvud kirjeldavad pikkust sellel teljel. 

 x, y ja z väärtused ühinenud hüperboloidis.

x, y ja z väärtused kaheosalises hüperboloidis.
Sarnaselt katenoidiga on valemites cosh ja sinh, mis tähendavad lihtsustatult, et nende väärtused on nullile lähedamal, kui nende väärtuseid leiti nullilähedaste arvudega arvutades.

Ülalolevas animatsioonis on näidatud erinevad A väärtused kui valemiks on xx+yy-zz=A. Kui A on alla nulli, siis on hüperboloid kahe eraldi pinnaga. Kui A on üle nulli, siis on üks suur hüperboloid ja A=0 tekitab koonused.

Lihtsustatud merekarbi kuju. Raadius väheneb suurema z väärtusega.

Sama spiraalse toru valem. Suurema v väärtusega kasvab kõrgus z, sest alguses annab 10v/2pii suure osa kõrgusest ning samas põhjustab suurem v väiksemat raadiust (x ja y väärtust), sest v maksimum 2 pii lähedal jagatakse 2 x piiga ja see ajab sulgudes oleva nulli lähedale.

Siinus- ja koosinuslained

Ühed lihtsamini kirjeldatavad lained on siinus- ja koosinuslained, mis on üksteisega peaaegu identsed kuid 90 kraadi võrra nihkes nullpunktide ja äärmustega. Iga 2 pii radiaani ehk 360 kraadi jagu pöördumist moodustab terve lainepikkuse. Tavaliselt tähistatakse x teljega aja möödumist või levikut ühes suunas ja y teljega laine amplituuti. Sellise ühtlase kõikumisega laineid võib esineda vee- ja valguslainetena. 2D ja 3D ruumis lainetused vajavad keerulisemaid selgitusi kui need kaks lainetüüpi suudavad kirjeldada ning tavaliselt saab nende kahe tüübiga ainult ühel sirgel toimuvat 1D lainetust kirjeldada.

Amplituudi y valem ajamomendi t jaoks. A on maksimaalne amplituud, mis võib tähistada muutust rõhus helilainete kirjeldamisel või elektromagneetilist kõikumist elektromagnetkiirguse kirjeldamisel. Radiaanide hulk sekundis on ω ja viimane sümbol (fii) tähistab lainefaasi mille muutmisega saab lainetust vasakule või paremale nihutada. Kui fii oleks 0, siis oleks laineharjad nagu ülal näites oma kohal. Kui selle väärtus on negatiivne, siis nihkuvad laineharjad arvuliselt sama palju negatiivse x telje suunas ning positiivse väärtusega sama palju positiivse x telje otsa suunas. Kui fii on 0, siis on valemi sin(ωt) osa see, mis määrab kui kõrge või madal on laine mingil hetkel.  

Kui sekundis toimuks täisringi jagu muutust, siis oleks laine iga täisarvulise aja väärtuse ajal  samas kohas. Kuna pöörlemise kiirus on mõõdetud sekundi kohta ja lainetuse aega mõõdetakse sekundis, siis on nende korrutamisel mõlemal suurusel võrdne kaal (sarnasel põhjusel on järgmises valemis k ja x omavahel korrutatud ning võrdse osakaaluga).

Sama valem laiendatult kui lisada asukoht x (kus seda amplituuti arvutatakse momendil t), lainetuse keskmist kõrgust kirjeldav D ja k, mis näitab mitme radiaani jagu pöörlemist toimub iga x kohta.
D on null kui y väärtus kõigub ühtlaselt 0 ümber nagu esimesel illustratsioonil kuid teiste D väärtuste puhul oleks selleks keskmiseks y väärtuseks D väärtus. 

Tasapinnalised lained levivad üksteise suhtes paralleelsete lainetena. Reaalsuses tekiks sellised lained siis, kui lainetus saab allikast lõputult palju eemalduda.

Nende amplituudi valem, kui laine liigub ajas positiivsema x telje suunas. 

Sama valem kui mõõdetakse amplituuti suvalise suuna r suhtes. Sellises valemis sisaldab k laine levikusuunda. 

Tumedalt tähistatud sümbolite vahel tuleb teha skalaarkorrutis (viimane illustratsioon), mis arvestaks nende kahe suuna vahelise nurgaga. Skalaarkorrutistes korrutatakse vektorite x, y ja z väärtused ning tulemused liidetakse kokku (x1x2+y1y2+z1z2). Saadud arvuga korrutatakse nendevahelise nurga koosinus, mis on maksimaalne 1 kui nurk on 0 kraadi ja 0 kui nurk on 90 kraadi. Kui vektorite r ja k abil tahetakse füüsikalainet kirjeldada, siis on oluline arvestada millise lainetüübiga on tegu. Elektromagnetkiirguse kirjeldamisel peaks õige valem arvestama, et amplituut on ristisuunas laine levikuga ja helilainetes on amplituut laine levikuga samasuunaline.

Heeliks ja helikoid

Heeliksite matemaatilised kirjeldused on x ja y teljel ringi omaga ülekattuvad kuid täiendavalt lisatakse neile kõrgus z, mis sõltub senisest heeliksi pöördumise hulgast.

Ülemise heeliksi x,y ja z väärtused on vastavalt cos t, sin t, t kõrgusega t=0 kuni t=4π. Pöörlemise ulatus t on radiaanides (~57 kraadi) nii et iga 2 korda pii radiaani järel saab uue ringi täis ning siinse kõrguse limiidiga saab spiraal kaks täisringi teha ulatudes kõrgusele 4 x pii ehk ~12,5. 

Heeliksi x ja y väärtused on samade seostega leitavad ringis ning z väärtuseks on minimaalselt vajalik ainult senise pöörlemise ulatuse teadmine kuigi vajadusel saaks z kirjeldamisel pöörlemise ulatust mingi arvuga korrutada või jagada.

Helikoid on minimaalse pindalaga täidetud heeliks. Ülaloleva helikoidi väärtused on α=1, -1≤ρ≤1 and -π≤θ≤π.

 

 

Teeta ja p väärtus võivad muutuda miinus lõputusest pluss lõputuseni aga a väärtus püsib. Positiivse a väärtusega pöördub see nagu ülanäites. Negatiivne a väärtus põhjustab vastupidist pöördumist ja kui a väärtus on 0, siis muutub helikoid vertikaalseks tasapinnaks (ainult y väärtused oleks igal kõrgusel nullis). 
Helikoid sisaldab põhimõtteliselt lõputult palju eri ulatusega heelikseid, millel kõigil on ühine pöörlemistelg. Suurused a ja p määravad nende mõtteliste heeliksite raadiused ning ühes helikoidis on p muutlik vahemik, mis määrab millises vahemikus üritatada leida kõiki võimalikke heelikseid. Ülanäites oli p väärtus -1 kuni +1 ning see sai maksimumiks ja miinimumiks x ja y teljel kuigi saaks leida lõputult palju heelikseid, mis jääks nende kahe äärmuse vahele.

Dini pind on üks helikoidiga sarnanev pind, mis koosneb samuti lõputult paljudest erinevatest heeliksitest. Ülemise näite väärtused on (0 ≤ u ≤ 4π), (0.01 ≤ v ≤ 1), a = 1.0 ja b = 0.2.

 

 

Põhiliselt on keerulisem leida z väärtuseid. V väärtus määrab heeliksi raadiuse põhjustades miinimumilähedase väärtusega pisemat raadiust x ja y koordinaate arvestades. Pisema raadiusega kaasneb sellisel pinnal väiksem kõrgus ning see seos tuleb põhiliselt z valemi log(tan(v/2)) osas. Mida väiksemast arvust võtta tangents, seda väiksem tuleb selle väärtus ning mida väiksemast arvust võtta logaritm seda negatiivsem väärtus on sellel valemi osal (~-4 kui v=0,01 või -2 kui v=1).