Torujad kujud

Toroidis kirjeldab r toru sisest raadiust ja R raadiust rõnga keskpunktist toru keskepunktini.

 

 

toroidis olevate punktide leidmise valemid. Väärtused u ja v on suurusega 0 kuni 2π (0-360 kraadi). Kõrgus z sõltub põhiliselt r väärtusest ja siinuse väärtus (-1 kuni 1) määrab rohkem selle suuna nullkõrguse suhtes. Koosinusega saab sulgudes leida x teljel asuva väärtuse ja y leidmisel piisab kui on teada mis oli x väärtus ja mitu kraadi on sellest eemale pööratud.

 

Toroidi pindala A ja ruumala V valemid.

Katenoid on pind mille saaks kui kumeralt rippuv nöör tiirleks ümber seda nööri enda poole tõmbava keskpunkti.

 

z=v
Väärtus c on püsiv nullist erinev arv aga v ja u väärtused jäävad 0-360 kraadi vahemikku.

cosh (hüperboolne koosinus) tähendus on teistsugune kui lihtsalt koosinusel. Lihtsustatult on cosh väärtus seda suurem mida rohkem erines selle sisendväärtus (näiteks x) nullist ning sellepärast saab sellega kirjeldada katenoidis keskel asuvat kitsamat kohta. Pärast cosh leidmist saab tulemuse cos või sin väärtusega läbi korrutada, et leida x ja y väärtused.

Ühe ja kahe pinnaga hüperboloidid.

Esimene valem kehtib ühe pinnaga hüperboloidi puhul ja teine kahe eraldi pinnaga hüperboloidide korral. Kui esimeses valemis asendada 1 nulliga, siis oleks tegu koonuse valemiga. X, y ja z all olevad arvud kirjeldavad pikkust sellel teljel. 

 x, y ja z väärtused ühinenud hüperboloidis.

x, y ja z väärtused kaheosalises hüperboloidis.
Sarnaselt katenoidiga on valemites cosh ja sinh, mis tähendavad lihtsustatult, et nende väärtused on nullile lähedamal, kui nende väärtuseid leiti nullilähedaste arvudega arvutades.

Ülalolevas animatsioonis on näidatud erinevad A väärtused kui valemiks on xx+yy-zz=A. Kui A on alla nulli, siis on hüperboloid kahe eraldi pinnaga. Kui A on üle nulli, siis on üks suur hüperboloid ja A=0 tekitab koonused.

Lihtsustatud merekarbi kuju. Raadius väheneb suurema z väärtusega.

Sama spiraalse toru valem. Suurema v väärtusega kasvab kõrgus z, sest alguses annab 10v/2pii suure osa kõrgusest ning samas põhjustab suurem v väiksemat raadiust (x ja y väärtust), sest v maksimum 2 pii lähedal jagatakse 2 x piiga ja see ajab sulgudes oleva nulli lähedale.

Siinus- ja koosinuslained

Ühed lihtsamini kirjeldatavad lained on siinus- ja koosinuslained, mis on üksteisega peaaegu identsed kuid 90 kraadi võrra nihkes nullpunktide ja äärmustega. Iga 2 pii radiaani ehk 360 kraadi jagu pöördumist moodustab terve lainepikkuse. Tavaliselt tähistatakse x teljega aja möödumist või levikut ühes suunas ja y teljega laine amplituuti. Sellise ühtlase kõikumisega laineid võib esineda vee- ja valguslainetena. 2D ja 3D ruumis lainetused vajavad keerulisemaid selgitusi kui need kaks lainetüüpi suudavad kirjeldada ning tavaliselt saab nende kahe tüübiga ainult ühel sirgel toimuvat 1D lainetust kirjeldada.

Amplituudi y valem ajamomendi t jaoks. A on maksimaalne amplituud, mis võib tähistada muutust rõhus helilainete kirjeldamisel või elektromagneetilist kõikumist elektromagnetkiirguse kirjeldamisel. Radiaanide hulk sekundis on ω ja viimane sümbol (fii) tähistab lainefaasi mille muutmisega saab lainetust vasakule või paremale nihutada. Kui fii oleks 0, siis oleks laineharjad nagu ülal näites oma kohal. Kui selle väärtus on negatiivne, siis nihkuvad laineharjad arvuliselt sama palju negatiivse x telje suunas ning positiivse väärtusega sama palju positiivse x telje otsa suunas. Kui fii on 0, siis on valemi sin(ωt) osa see, mis määrab kui kõrge või madal on laine mingil hetkel.  

Kui sekundis toimuks täisringi jagu muutust, siis oleks laine iga täisarvulise aja väärtuse ajal  samas kohas. Kuna pöörlemise kiirus on mõõdetud sekundi kohta ja lainetuse aega mõõdetakse sekundis, siis on nende korrutamisel mõlemal suurusel võrdne kaal (sarnasel põhjusel on järgmises valemis k ja x omavahel korrutatud ning võrdse osakaaluga).

Sama valem laiendatult kui lisada asukoht x (kus seda amplituuti arvutatakse momendil t), lainetuse keskmist kõrgust kirjeldav D ja k, mis näitab mitme radiaani jagu pöörlemist toimub iga x kohta.
D on null kui y väärtus kõigub ühtlaselt 0 ümber nagu esimesel illustratsioonil kuid teiste D väärtuste puhul oleks selleks keskmiseks y väärtuseks D väärtus. 

Tasapinnalised lained levivad üksteise suhtes paralleelsete lainetena. Reaalsuses tekiks sellised lained siis, kui lainetus saab allikast lõputult palju eemalduda.

Nende amplituudi valem, kui laine liigub ajas positiivsema x telje suunas. 

Sama valem kui mõõdetakse amplituuti suvalise suuna r suhtes. Sellises valemis sisaldab k laine levikusuunda. 

Tumedalt tähistatud sümbolite vahel tuleb teha skalaarkorrutis (viimane illustratsioon), mis arvestaks nende kahe suuna vahelise nurgaga. Skalaarkorrutistes korrutatakse vektorite x, y ja z väärtused ning tulemused liidetakse kokku (x1x2+y1y2+z1z2). Saadud arvuga korrutatakse nendevahelise nurga koosinus, mis on maksimaalne 1 kui nurk on 0 kraadi ja 0 kui nurk on 90 kraadi. Kui vektorite r ja k abil tahetakse füüsikalainet kirjeldada, siis on oluline arvestada millise lainetüübiga on tegu. Elektromagnetkiirguse kirjeldamisel peaks õige valem arvestama, et amplituut on ristisuunas laine levikuga ja helilainetes on amplituut laine levikuga samasuunaline.

Heeliks ja helikoid

Heeliksite matemaatilised kirjeldused on x ja y teljel ringi omaga ülekattuvad kuid täiendavalt lisatakse neile kõrgus z, mis sõltub senisest heeliksi pöördumise hulgast.

Ülemise heeliksi x,y ja z väärtused on vastavalt cos t, sin t, t kõrgusega t=0 kuni t=4π. Pöörlemise ulatus t on radiaanides (~57 kraadi) nii et iga 2 korda pii radiaani järel saab uue ringi täis ning siinse kõrguse limiidiga saab spiraal kaks täisringi teha ulatudes kõrgusele 4 x pii ehk ~12,5. 

Heeliksi x ja y väärtused on samade seostega leitavad ringis ning z väärtuseks on minimaalselt vajalik ainult senise pöörlemise ulatuse teadmine kuigi vajadusel saaks z kirjeldamisel pöörlemise ulatust mingi arvuga korrutada või jagada.

Helikoid on minimaalse pindalaga täidetud heeliks. Ülaloleva helikoidi väärtused on α=1, -1≤ρ≤1 and -π≤θ≤π.

 

 

Teeta ja p väärtus võivad muutuda miinus lõputusest pluss lõputuseni aga a väärtus püsib. Positiivse a väärtusega pöördub see nagu ülanäites. Negatiivne a väärtus põhjustab vastupidist pöördumist ja kui a väärtus on 0, siis muutub helikoid vertikaalseks tasapinnaks (ainult y väärtused oleks igal kõrgusel nullis). 
Helikoid sisaldab põhimõtteliselt lõputult palju eri ulatusega heelikseid, millel kõigil on ühine pöörlemistelg. Suurused a ja p määravad nende mõtteliste heeliksite raadiused ning ühes helikoidis on p muutlik vahemik, mis määrab millises vahemikus üritatada leida kõiki võimalikke heelikseid. Ülanäites oli p väärtus -1 kuni +1 ning see sai maksimumiks ja miinimumiks x ja y teljel kuigi saaks leida lõputult palju heelikseid, mis jääks nende kahe äärmuse vahele.

Dini pind on üks helikoidiga sarnanev pind, mis koosneb samuti lõputult paljudest erinevatest heeliksitest. Ülemise näite väärtused on (0 ≤ u ≤ 4π), (0.01 ≤ v ≤ 1), a = 1.0 ja b = 0.2.

 

 

Põhiliselt on keerulisem leida z väärtuseid. V väärtus määrab heeliksi raadiuse põhjustades miinimumilähedase väärtusega pisemat raadiust x ja y koordinaate arvestades. Pisema raadiusega kaasneb sellisel pinnal väiksem kõrgus ning see seos tuleb põhiliselt z valemi log(tan(v/2)) osas. Mida väiksemast arvust võtta tangents, seda väiksem tuleb selle väärtus ning mida väiksemast arvust võtta logaritm seda negatiivsem väärtus on sellel valemi osal (~-4 kui v=0,01 või -2 kui v=1). 

Ring ja spiraalid

Ringi valemi järgi võrdub selle raadiuse ruut selle x ja y väärtuste ruutude summaga. See on põhimõtteliselt hüpoteenuse leidmise valem kui raadius on hüpoteenuse rollis. Vertikaalsed ja horisontaalsed y ja x väärtuste kirjeldavad vastavasuunalist erinevust ringi keskpunkti ja raadiuse välispunkti vahel.

Sama valem kui keskpunkt ei ole teljestiku nullpunktis.

Teades ringi keskpunkti, raadiust ja nurka t saab leida mis oleks selle nurga all oleva ringi välispunkti x ja y väärtus. Keskpunkti asukoha x ja y väärtus on vastavalt a ja b. Nurk ise on võetud positiivse väärtusega x telje suhtes ning traditsiooniliselt kasvab nurk vastupidiselt kellaosuti suunaga.

Ringi valemites võib tihti läbi käia seos, et x väärtus on (r x cos nurgast) ja y väärtus (r x sin nurgast).

Ülal ringil on cos väärtused sulgudes vasakul ja sin väärtused paremal.
Näiteks kui ringi keskpunkt asub kohas (0,0) raadiusega 1 ja nurk x telje suhtes on 0, siis on x väärtus selles kohas 1 kuna cos0=1. Sin0=0 ja y väärtus on selles kohas 0. 90 kraadise nurga korral on cos90=0 (x=0) ja sin90=1 (y=1).

Spiraalid 

Üldist

Spiraalis toimub pidev raadiuse muutus keskpunkti suhtes ning punktid raadiusel on tähistatud tavaliselt 2 väärtusega. Üks neist näitab kaugust keskpunktist ja teine kui palju on pöördumist polaartelje suhtes. Ülal illustratsioonil on polaartelg L ja pöördumist mõõdetakse vastupäeva (positiivse teeta väärtuse puhul) sarnaselt ringiga. Teeta või t näitab kui palju on toimunud pöörlemist radiaanides ja selle ees olevad "-" ja "+" määravad kummas suunas spiraal pöörab.  
Valemites on tavaliselt a ja b väärtused, mis on samas spiraalis püsiva väärtusega ning määravad tavaliselt kui kiiresti see täpsemalt pöördub.

Archimedes'e spiraal. Selle pöörded on üksteise suhtes ühtlase distantsiga kui neid mõõta alates keskpunktist. 

Raadiuse r valem. Pöörlemise suund sõltub sellest kas teeta väärtus on positiivse või negatiivse väärtusega.
Distants pöörete vahel on b ja a mõjutab pöörlemiskiirust. Teeta näitab pöörlemiskiirust radiaanides ehk mitme raadiuse jagu pöördumist toimus. Mida rohkemate radiaanide jagu on pöörlemist seda suuremaks kasvab raadius. Kui a=0 ja b=2, siis oleks spiraali raadius kaks korda suurem seni toimunud pööramisradiaanide arvust.

Fermat'i spiraal on üks Archimedes'e spiraali erivorm kus korraga joonistatakse keskkohast 2 spiraali, mis kumbki pöörleb teisega võrreldes vastupidise suunaga. 

Raadius on leitav seosega ruutjuur senisest pöörlemisest ning juure leidmise järgselt pandakse ühe haru jaoks vastusele "-" märk ette.
r ² = a ²θ
Teine võimalus r väärtuse leidmiseks. 

Logaritmiline spiraal on looduses tavalisem spiraal, mida võib näha spiraalsetes teokarpides, galaktikates ja tormipilvedes.

Raadius võrdub suvaline arv a korda e (2,718...) astmes suvaline arv b korda pöördumise ulatus. Tiirude suurus sõltub a väärtusest ja pöördumise kiirus b väärtusest. Kui b on 0, siis oleks spiraali asemel ring ning kui b oleks lõputult suur, siis oleks spiraali asemel lõputu sirgjoon.
Raadius kasvab keskkohast eksponentsiaalse kiirusega nii et iga järgnev tiir on eelmisest palju suurem.

 

Võrdluseks ringi x ja y leidmise valemitega sarnanevad valemid x ja y leidmiseks logaritmilises spiraalis.

Hüperboolne spiraal. Erinevusena algab see lõputult kaugelt (kui pöördumist pole toimunud) lähenedes spiraali keskkohale pöörates järjest kiiremini.

raadius r asub algselt polaarteljelt ja raadius väheneb mida rohkem on spiraal pööranud. Suurema a korral on raadius suurem.